Trường THCS Nguyễn Du
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn Toán. Thời gian 150 phút

Câu 1:(1,5đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
(x – y)3 + (y – z)3 +(z – x)3
Câu 2: (1đ)
Cho
.Tính giá trị của biểu thức:

Câu 3: (1đ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn:
. Chứng minh rằng tam giác đã cho là tam giác đều.

Câu 4: (1đ) Cho
thoả mãn:

Chứng minh rằng:

Câu 5:(0,75đ) Chứng minh rằng số
là một số chính phương.
Câu 6: (1đ)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2(x + y + z) + 9 = 3xyz

Câu 7: (0,75đ)Tìm GTLN và GTNN của :

. với

Câu 8: (3đ)
Cho hình bình hành ABCD. Vẽ hình thang EFGH có bốn đỉnh của nó thuộc bốn cạnh của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng tồn tại một đường chéo của hình bình hành ABCD đi qua giao điểm hai đường chéo của hình thang EFGH

---------------Hết----------------








ĐÁP ÁN
Câu 1:
M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) -24
Đặt x2 + 7x + 11 = t



(Vì
)
N = (x – y)3 + (y – z)3 +(z – x)3
Đặt x – y = a, y – z = b, z – x = c => a + b + c = 0 =>a + b = -c


Vậy (x – y)3 + (y – z)3 +(z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
Câu 2:
Từ


(vì
)


Nếu



Nếu



Nếu



Vậy trong mọi trường hợp ta đều có M = 1
Câu 3:
Ta có:


(*)
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a + b + c > 0
Do đó từ (*)







Vậy tam giác đã cho là tam giác đều (đpcm)
Câu 4:
Ta có


(vì
)

(1)
Mặt khác:




(vì
)

(2)
Từ (1) và (2)
(đpcm)
Câu 5: Ta có:




Đặt ta có:

Vậy D là một số chính phương (đpcm)
Câu 6:
Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên ta có thể giả sử

Khi đó:



* Với z = 1 ta có:





* Với z = 2 ta có: 2x + 2y + 13 = 6xy

-> PT này không có nghiệm nguyên.
Vậy PT đã cho có 3 nghiệm nguyên dương là:


Câu 7:
* Ta có
và



Mặt khác:
(theo BĐT Cô-si)







(2)
Từ (1) và (2)

*Xét
và
có:
(c/m trên)



đồng dạng với

Mà :
( 2 góc kề bù )



A, O, C thẳng hàng
Vậy đường chéo AC của hình bình hành ABCD đi qua giao điểm O của hai đường chéo hình thang EFGH.

--------------Hết--------------